Microsoft-Decision-1 - 선택지별 확률을 반환하는 저비용 의사결정 모델

• AI의 발전 때문에 수학 진로를 포기하기보다, 수학을 깊이 배우고 특정 분야의 전문가가 되고 싶은가를 기준으로 박사과정 진학을 결정해야 함
• AI가 인간의 수학 연구 능력을 어디까지 넘어설지는 아직 알 수 없으며, 종신재직 교수의 낙관론과 초기 경력 연구자의 고용 불안은 서로 다른 상황에서 나옴
• LLM이 기존 아이디어 사이의 연결을 찾는다는 볼록껍질 가설이 맞는다면, 새로운 개념으로 지식의 경계를 넓히는 인간의 기여가 계속 필요함
• LLM과의 연구에는 수학적 직관과 지도가 필요하며, 수학의 목표는 정답을 얻는 데 그치지 않고 왜 참인지 이해하는 것에 있음
• 대학 수학과는 지식을 발견하고 전달하는 곳이며, AI가 연구 성과를 늘려도 이를 이해하고 가르치며 새로운 연구자를 훈련하는 일은 남아 있음

진로를 바꾸는 학생들과 예측의 한계

• LLM의 발전으로 수학 박사과정을 준비하던 학생들이 진학을 재고하고, 법학처럼 수학과 거리가 먼 진로까지 검토하고 있음
• 한 순수수학 학부생은 최고 수준의 재능이 없어도 열정으로 연구자가 될 수 있을지, AI가 5~10년 안에 인간의 연구 능력을 넘어설지 물으며 진로와 삶의 의미에 대한 혼란을 호소함
• 학생들의 고민은 인간보다 뛰어난 AI의 등장, 수학자의 역할 변화, 연구 기여 가능성, 고용 전망, 박사과정 진학 여부로 이어짐
• 확실한 답을 아는 사람은 없음. 필즈상 수상자, AI 전문가, 모델 기업도 빠르고 불투명한 발전의 미래를 확정적으로 예측할 수 없음
• 종신재직 교수의 안정된 위치에서는 초기 경력 연구자의 불안을 충분히 체감하지 못할 수 있으며, 지금의 낙관론도 빠르게 틀릴 수 있음
• 한 사람의 확신에 의존하지 말고 여러 수학자의 견해를 들어볼 필요가 있음. Human Mathematicians in the Age of AI는 이런 질문을 다루는 인터뷰 프로젝트임

기업의 성공 발표와 실제 연구 역량

• AI 기업에는 자사 제품이 곧 초인간적 지능에 도달하고, 인간이 풀 수 있는 모든 수학 문제를 자율적으로 해결할 것이라는 기대를 키울 유인이 있음
• 유명 문제에 막대한 인력과 계산 자원을 투입한 뒤 성공 사례를 발표하면, 모델이 이미 어떤 문제든 신속하게 해결할 수 있다는 인상을 줄 수 있음
• 성공하지 못한 시도에 들어간 전체 토큰과 비용까지 공개되는 것은 아니므로, 발표된 성공만으로 실제 연구 역량을 판단하기 어려움
• 기업에 유리한 결과가 수학과 과학 공동체에도 유리하리라는 보장은 없음. AI의 승리와 수학 직업의 소멸을 확신하는 예측에는 그 이해관계도 함께 살펴볼 필요가 있음

연구의 일상과 넓어진 탐구 범위

• LLM을 적절히 활용하고 합리적인 학술 행동 규범을 마련하면, 수학의 발전을 이전보다 빠르게 이끌 수 있음
• Álvaro Lozano-Robledo의 연구 일상에는 여전히 수업, 동료와 학생과의 대화, 연구, 학술대회를 통한 성과 공유가 자리함. Daniel Litt도 비슷한 경험을 공유함
• Lozano-Robledo가 참여하는 연구 프로젝트는 몇 달 사이 3배로 늘었음. 탐구할 수 있는 분야가 넓어져 학생들과 함께 진행할 연구 과제도 많아짐
• 젊은 연구자에게는 과학적 변화의 최전선에 참여할 기회가 될 수 있으며, 이들이 떠나면 수학 전체에도 큰 손실이 될 수 있음

기존 아이디어의 볼록껍질을 넘을 수 있을까?

• Nestor Guillen의 볼록껍질 가설은 LLM이 기존 문헌의 아이디어를 조합하는 방식을 이해하기 위한 단순화된 모형임
• 수학 지식을 여러 꼭짓점이 있는 다면체로 생각하면, 각 분야의 최첨단 아이디어가 바깥쪽 꼭짓점에 해당함
• 볼록껍질은 이 꼭짓점들을 모두 감싸는 최소한의 볼록한 영역임. 이 모형에서 LLM은 기존 아이디어 사이를 영리하게 연결하고 빈틈을 채우지만, 그 영역 안에 머묾
• 지금까지 접한 AI의 수학 결과에서는 기존 문헌에 전혀 없던 개념이나 논법, 알파고의 ‘37수’처럼 낯선 발상이 뚜렷하게 드러나지 않았음
• Erdős의 단위거리 추측 반증은 이산기하학과 대수적 정수론의 전략을 결합한 사례임
• Melanie Matchett-Wood의 검토에 따르면, 필요한 전문성을 가진 수학자들이 같은 시간을 들여 협력했다면 반례를 찾았을 가능성이 있음
• 리만 가설은 기존 볼록껍질 밖의 아이디어가 필요할 수도 있음. 이 모형이 맞는다면 인간이 새 개념을 도입하고 LLM이 이를 학습한 뒤에야 탐색 가능한 영역이 넓어짐
• 처음에는 기존 아이디어 사이의 빈틈을 메우며 빠르게 성과가 늘어도, 이후에는 AI 단독 성과의 증가 속도가 둔화할 수 있음. 이는 가설에 따른 전망이며, 입증된 AI의 한계는 아님
• 원문의 아이디어 다면체 그림과 볼록껍질 그림은 기존 분야 사이의 연결과 그 바깥에 놓일 수 있는 문제를 시각화함

계산 자원과 인간의 이해

• AI가 기존 아이디어의 경계를 넘더라도 실행 비용과 윤리적인 자원 사용이 다른 한계가 될 수 있음. Kevin Buzzard의 ‘자연적 경계’와 연결되는 문제임
• 중요한 문제를 해결할 수 있다는 이유만으로 모든 금전적 비용, 인적 비용, 자연자원 소비가 정당화되지는 않음
• 화성의 생명체를 확인하려고 막대한 자금과 승무원의 생명을 위험에 노출하기보다, 중력 도움을 이용하는 로봇 탐사 같은 대안을 찾는 것과 같음
• 수학에서도 감당하기 어려운 계산 비용 대신, 비슷한 진전과 인간의 이해를 얻을 다른 경로를 고안해야 할 수 있음

LLM과 협력하는 수학자의 역할

• 실제 연구에서 LLM과의 대화는 공동연구자와의 토론에 가까우며, 수학자가 제공하는 직관과 지도가 결과에 큰 영향을 미침
• “리만 가설을 실수 없이 풀어라”라고 요청하고 완성된 증명을 읽는 것보다, 발견 과정에 참여하며 왜 참인지 이해하는 것이 연구의 중요한 동기임
• 수학에는 언제나 압도적인 능력의 연구자가 있었지만, 다른 연구자들도 의미 있는 결과를 만들고 연구의 즐거움을 누려왔음
• 구체적인 문제와 큰 그림, 작은 기여와 새로운 이론을 아우르는 다양한 시각이 수학의 발전에 필요함
• Emily Riehl의 인터뷰처럼 수학의 세계는 방대하지만 계산 시간은 유한함. 탐구가 부족한 영역에서는 초보 연구자도 새로운 성과를 만들 여지가 있음
• LLM은 막다른 경로를 빠르게 시험하고, 이미 탐구한 길을 찾아주며, 유망한 방향을 살피는 데 도움을 줄 수 있음
• 학생은 지도교수와 주당 1~2시간 만나는 것 외에도 LLM에 상시 질문하며 학습하고, 더 일찍 연구에 참여할 수 있음

대학의 임무와 박사과정을 선택하는 이유

• 대학 수학과의 핵심 목표는 수학 지식의 발견과 전달임. 많은 기관에서는 교육이 연구보다 더 큰 비중을 차지함
• 수학적으로 사고하는 능력을 가르치고, 연구 성과를 이해하고 소화하며, 다음 세대 연구자를 훈련하는 일도 수학자의 역할임
• 학부 연구는 수업과 다른 훈련을 제공함. LLM은 비전공자와 학부생이 수학자 주도의 실제 연구에 참여할 기회도 넓힐 수 있음
• 연구 참여는 무분별한 탐색보다 이해를 목표로 해야 하며, 배운 수학을 다른 사람에게 전달하는 능력도 길러야 함
• 연구 생산성 증가가 일자리를 늘릴 가능성도 있지만, 고용 전망은 확정할 수 없음. 정치적 정책과 연구비 문제도 중요한 변수임
• 박사과정 진학의 핵심 기준은 수학을 사랑하고 특정 주제의 전문가가 되고 싶은가임. LLM의 존재가 이 목표를 없애지는 않음
• 이해되지 않는 개념을 반복해서 질문하고, 자신의 사고방식에 맞는 설명과 예시를 찾는 데 LLM을 활용할 수 있음
• 사용 범위는 개인이 선택하되, 현재 기술의 역량을 배울 필요는 있음. Jeremy Teitelbaum의 인터뷰 발췌와 전체 인터뷰도 이 문제를 다룸
• 박사과정을 선택했던 동기에는 와일스의 페르마 마지막 정리 증명을 이해하고, 고급 수학을 탐구하며, 정수론을 좋아하는 동료들과 교류하는 즐거움이 있었음. 몇 년간 ‘진짜 직장’을 피할 수 있다는 농담도 덧붙임
• 새로운 정리를 발견해 논문을 내고, 교실과 교실 밖에서 수학에 대한 열정을 나누는 경험도 있음
• 이런 도전을 원한다면 불분명한 기술적 위협만으로 포기하지 말고, 원하는 박사과정 경험에 맞게 기술을 익혀 활용할 수 있음

OpenAI의 수학 결과 공개 이후

• 집필 후 OpenAI의 수학 결과 모음이 공개됨. 리만 가설 관련 문제, 골드펠트 추측, CM 아벨 다양체의 호지 추측, 유리수체 위 힐베르트의 10번째 문제 등을 다루는 원고가 포함됨
• 공개 자료에는 약 4,000개 문제에 대한 시도와 수백 편의 수학 원고가 담겨 있음. 시도한 문제 수, 원고 수, 해결된 문제 수는 서로 구분해야 함
• 제안된 해법에 기존 아이디어의 볼록껍질을 벗어나는 발상이 있는지 판단하려면 수학자들의 검토와 시간이 필요함
• 어떤 아이디어를 연결했고 실제로 새로운 개념을 발견했는지 이해하는 일도 남아 있음
• LLM의 도움을 받든 받지 않든 연구할 문제는 많으며, 새롭게 이해하고 설명하고 전달해야 할 수학도 늘어남
• 새로운 지식과 아직 풀리지 않은 문제를 깊이 배우고 싶은 학생에게 박사과정은 여전히 적합한 길이 될 수 있음